二維付立葉變換光學(xué)系統(tǒng)的空間帶寬積與顆粒大小分析

關(guān)健詞 光學(xué)付立葉變換，空間帶寬積，粒度分析

二維付立葉變換光學(xué)系統(tǒng)最成功的應(yīng)用領(lǐng)域之一就是顆粒粒度分析。依據(jù)付立葉光學(xué)原理，通過檢測群的付立葉譜，無需顆粒按大小在空間分離，便可實(shí)現(xiàn)粒度實(shí)時(shí)與動(dòng)態(tài)測試與分析，從而開辟了粒度在線分析的廣闊前景現(xiàn)在已被廣泛應(yīng)用于建材、冶金、能源、化工等許多領(lǐng)域。
此類粒度分析儀與經(jīng)典的成象光學(xué)儀器不同，不能用放大率、景深、清晰度等參數(shù)來描述，概括儀器本質(zhì)特征的參數(shù)是空間帶寬積，空間帶寬積制約著激光粒度儀的測量范圍、分辯率、粒度的分級。正確理解空間帶寬積，是改進(jìn)與提高激光粒度分析儀的基礎(chǔ)。本文著重探討空間帶寬積的物理意義，及其與顆粒大小分析之間的密切關(guān)系。

空間帶寬積
在二維付立葉變換光路中，直徑為d的圓孔屏置于前焦面，在平行激光照射下，在后焦面可得到此孔的衍射圖樣，中心O級衍射譜稱為愛里斑，愛里斑半徑由下式表示：

從（2）式可見，衍射物的空間尺度d與衍射空間頻譜寬度ρ/λf的乘積為一常數(shù)，我們稱
d*ρ/λf為空間帶寬積。
為了不失一般性，我們討論二維付立葉變換系統(tǒng)對任一空域函數(shù)的抽樣，在空域頻域均采用直角座標(biāo)系。
由抽樣定理可知，在空域?qū)τ趲藓瘮?shù)g（x,y）使用間隔為△x△y的尋距抽樣，得樣本函數(shù)：


我們稱滿足（5）式的抽樣間隔為尼奎斯特間隔。（5）式表明尼奎斯特間隔與原函數(shù)的帶寬之積等于1。此乘積即為直角座標(biāo)系中的空間帶寬積。
以上分析表明：小的空間尺寸必然對應(yīng)著一個(gè)寬的頻帶，換句話說，要測量小顆粒必須要用較寬的頻帶。如果尼奎斯特間隔大子所測的顆粒，則此顆粒在抽樣中將被漏掉，頻率將失真。
尼奎斯特間隔對激光粒度儀來講就是該儀器最小可分辯尺寸。
激光粒度儀的空間帶寬積
在激光粒度儀中，由于顆粒群的空間頻譜具有中心對稱性，因此通常采用同心環(huán)狀的陣列探測器對功率譜進(jìn)行抽樣。
現(xiàn)考察一個(gè)半徑為r0的顆粒，其透過率函數(shù)為

（11）式給出了顆粒與其付立葉徑向功率譜的敏感空間帶寬積。其物理意義是顆粒直徑d發(fā)生變化時(shí)，滿足上式的ρm處的功率譜變化最大。
敏感空間帶寬積在激光粒度分析儀的設(shè)計(jì)中具有重要作用。
敏感空間帶寬積的應(yīng)用
敏感空間帶寬積在激光粒度分析儀的設(shè)計(jì)中可用來確定測量的上下限粒徑，與顆粒的分
級。

從（11）式還可看出，使用長波長的激光光源或者增大付立葉透鏡的焦距有利于擴(kuò)大測量范
圍；反之，則有利于提高儀器的分辯率。
（11）式的應(yīng)用價(jià)值并不限于以上幾點(diǎn)。由于此式在理論上指出了顆粒尺寸d與敏感空間頻率之間的對應(yīng)關(guān)系，這就為無約束自由擬合的數(shù)據(jù)反演技術(shù)奠定了理論基礎(chǔ)。
結(jié)論
空間帶寬積是二維付立葉變換光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)重要參量，它集中反映了物空間與譜空間信息傳遞與處理的內(nèi)在規(guī)律。特別是敏感空間帶寬積，在激光粒度儀測量范圍的計(jì)算，顆粒分級，
分辯率研究，儀器設(shè)計(jì)與改進(jìn)，計(jì)算軟件的開發(fā)與優(yōu)化方面均具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。
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